Estensione abeliana
In matematica, in particolare in teoria dei campi, un'estensione abeliana è un'estensione di Galois il cui gruppo di Galois è abeliano.
Il teorema di Kronecker-Weber afferma che ogni estensione abeliana finita di è un sottocampo di un campo ciclotomico.
La teoria di Kummer classifica le estensioni abeliane finite di un campo il cui gruppo di Galois è ciclico e di ordine primo con la caratteristica di In caratteristica positiva la teoria di Kummer non può descrivere le estensioni il cui ordine è diviso da In questo caso, interviene anche la teoria di Artin-Schreier che descrive le estensioni cicliche di ordine una potenza di
Concetti correlati
[modifica | modifica wikitesto]Se il gruppo di Galois di un'estensione di Galois è un gruppo ciclico, allora si ha un'estensione ciclica. Un'estensione di Galois è detta risolubile se il gruppo di Galois associato è un gruppo risolubile.
Ci sono due definizioni leggermente differenti di estensione ciclotomica:
- una qualunque estensione di campi ottenuta aggiungendo una radice dell'unità;
- una sottoestensione di un'estensione di campi ottenuta aggiungendo una radice dell'unità.
La seconda definizione è più ampia della prima.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]- Ogni estensione finita di un campo finito è un'estensione ciclica.
- Ogni campo ciclotomico è un'estensione ciclotomica (in entrambe le definizioni). Ogni estensione ciclotomica è abeliana (in entrambe le definizioni).
- Ogni estensione di Kummer è abeliana.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Abelian Extension, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Estensione abeliana, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
