Ana nasce a Sinaia, una piccola città romena, da Ion e Monica Bogdan. Comincia a praticare il tennis all'età di 4 anni. La sua superficie tennistica preferita è il cemento.[1]
Non è parente della collega connazionale e coetanea Elena Bogdan.
Comincia la carriera da juniores nel 2006 e nel 2009 raggiunge la seconda posizione, il suo best ranking nella categoria. Nello stesso anno ottiene il miglior risultato in uno Slam juniores, raggiungendo la semifinale agli Australian Open dove viene fermata dalla russa Ksenija Pervak.
Vince il suo primo titolo ITF nel 2011 a Smirne e tra il 2012 e il 2013 ne vince altri sei: tutti nella città turca di Adalia. Se ne susseguono altri tre nel 2015 vinti a Mamaia, Sofia e Bath.[2]
2016-2017: prima semifinale WTA e debutto in uno Slam
Agli Australian Open, Bogdan raggiunge il main draw dopo aver vinto le qualificazioni, ma viene sconfitta in due set al primo turno da Elena Vesnina. Prende parte per la prima volta nella sua carriera agli Open di Francia, dove esce di scena al primo turno per mano di Ons Jabeur e a Wimbledon, dove vince il primo turno contro Duan Yingying in due set prima di perdere conto Caroline Garcia. Agli US Open, Bogdan eguaglia il risultato del 2016 uscendo al primo turno da Niculescu.
Nello stesso anno raggiunge la seconda semifinale nel torneo WTA 125 di Hua Hin, dove viene sconfitta da Belinda Bencic.
L'Australian Open ha visto Bogdan raggiungere il suo miglior risultato in carriera in un Grande Slam, raggiungendo il terzo turno e sconfiggendo l'undicesima testa di serie Kristina Mladenovic in due set al primo. I risultati di questo torneo la portano per la prima volta nella Top 100, ottenendo la posizione n.89 in singolare.[3] Bogdan nello stesso anno ha raggiunto le semifinali sia a Monterrey, dove cede a Garbiñe Muguruza, che a Bogotá. In seguito al conseguimento di questi risultati la romena si spinge fino al 70º posto nel ranking.
Nel 2019 non ottiene molti risultati positivi nel circuito maggiore, perciò dalla seconda metà della stagione torna a giocare in diversi tornei ITF. In questo ambito disputa tre finali e vince due titoli (a Saint-Étienne e Dubai).
Nel 2020 fallisce al primo turno di qualificazione degli Australian Open. Dopo la pausa causata dalla pandemia di COVID-19 disputa il torneo di Praga, dove raggiunge i quarti di finale. Agli Open di Francia ha la meglio su Babos, ma al secondo turno viene fermata da Sofia Kenin in tre set.
2021: prima finale Challenger e terzo turno a Parigi
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Romania
Poland Open, Varsavia
Caroline Garcia
Karolína Plíšková
Panna Udvardy
Parma Ladies Open, Parma
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Alison Van Uytvanck
GD Tennis Cup, Smirne
Aleksandrina Najdenova
Maria Sakkarī
Caitlin Whoriskey
Malin Ulvefeldt
Ekaterine Gorgodze
Viktorija Kamenskaja
AEGON Pro Series Bath, Bath
Ana Vrljić
Al Habtoor Tennis Challenge, Dubai
Dar'ja Snigur
Eva Fernández Brugués
Hechingen Ladies Open, Hechingen
Romina Oprandi
Teodora Mirčić
Abbie Myers 
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