Forma bilineare

In matematica, più precisamente in algebra lineare, una forma bilineare è una mappa bilineare a valori in un campo. Si tratta di una funzione definita sul prodotto cartesiano di due spazi vettoriali che è lineare in entrambe le componenti.

Definizione

Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali su $K$ e $V\times W$ il loro prodotto cartesiano. Una forma bilineare sul campo $K$ è una mappa

$\phi \colon V\times W\to K$

che associa ad ogni coppia di elementi $\mathbf {v} \in V$ e $\mathbf {w} \in W$ lo scalare $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\in K$ ed è lineare su entrambe le componenti, cioè:

$\phi (\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2},\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} _{1},\mathbf {w} )+\phi (\mathbf {v} _{2},\mathbf {w} ),\qquad \forall \ \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in V,\quad \forall \ \mathbf {w} \in W,$

$\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{1}+\mathbf {w} _{2})=\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{1})+\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{2}),\qquad \forall \ \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}\in W,\quad \forall \ \mathbf {v} \in V,$

$\phi (a\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} ,a\mathbf {w} )=a\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} ),\qquad \forall \ \mathbf {v} \in V,\quad \forall \ \mathbf {w} \in W,\quad \forall \ a\in K.$

Fissato uno dei due argomenti, la funzione è lineare rispetto all'altro.

Se $V$ e $W$ coincidono, la forma si dice bilineare su $V$ (o su $W$).

Rappresentazione in coordinate

Se $V$ ha dimensione $n$ finita, ogni forma bilineare $\phi$ su $V$ può essere rappresentata come una matrice quadrata di ordine $n.$ Come per le applicazioni lineari, per fare ciò è necessario scegliere una base $\{\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}\}$ per $V$, in quanto la matrice risultante dipende dalla base scelta.

La matrice $B$ è definita per elementi da:

$b_{ij}=\phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j}).$

L'azione della forma bilineare su due vettori $\mathbf {u}$ e $\mathbf {w}$ di $V$ si ricava nel modo seguente, tramite moltiplicazione tra matrici:

$\phi (\mathbf {u} ,\mathbf {w} )=\mathbf {\mathbf {u} } ^{T}\mathbf {B\mathbf {w} } =\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}u_{i}w_{j}$

dove $u_{i}$ e $w_{j}$ sono le coordinate di $\mathbf {u}$ e $\mathbf {w}$ rispetto alla base.

Relazione con lo spazio duale

Ogni forma bilineare $\phi$ su $V$ definisce una coppia di mappe lineari da $V$ nel suo spazio duale $V^{*}$. Si definiscano nel modo seguente:

$\phi _{1}\colon V\to V^{*},\qquad \phi _{1}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} ),$

$\phi _{2}\colon V\to V^{*},\qquad \phi _{2}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} ).$

In altre parole, $\phi _{1}(\mathbf {v} )$ è l'elemento di $V^{*}$ che manda $\mathbf {w}$ in $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$.

Per denotare la posizione dell'argomento nella mappa lineare risultante, si usa la notazione:

$\phi _{1}(\mathbf {v} )=\phi (\mathbf {v} ,\cdot ),$

$\phi _{2}(\mathbf {v} )=\phi (\cdot ,\mathbf {v} ).$

Ogni mappa lineare $T\colon V\to V^{*}$ definisce analogamente una funzione bilineare:

$\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=T(\mathbf {v} )(\mathbf {w} ).$

Forme simmetriche e antisimmetriche

Una forma bilineare $\phi \colon V\times V\to K$ è detta simmetrica se:

$\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )$

per ogni $\mathbf {v}$ e $\mathbf {w}$ in $V$. È invece detta antisimmetrica se:

$\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=-\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} ).$

Una forma bilineare $\phi$ è simmetrica se e solo se la matrice associata $B$ (rispetto ad una base qualsiasi) è simmetrica, ed è antisimmetrica se e solo se la matrice associata è antisimmetrica.

Se la forma bilineare è simmetrica, le due mappe $\phi _{1}$ e $\phi _{2}$ definite sopra coincidono.

Se $K$ non ha caratteristica 2, allora una caratterizzazione equivalente di una forma antisimmetrica è:

$\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=0$

per ogni $\mathbf {v} \in V$. In caso contrario, la condizione precedente è solo sufficiente.

Prodotto scalare

Una forma bilineare simmetrica è spesso chiamata prodotto scalare. Altri autori definiscono invece il prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica a valori nel campo $\mathbb {R}$ dei numeri reali che sia definita positiva, ovvero con $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )>0$ per ogni $\mathbf {v}$ diverso da zero, e $\phi (\mathbf {0} ,\mathbf {0} )=0$.

Forma degenere

Una forma bilineare $\phi$ definita su uno spazio $V$ di dimensione finita è degenere se la matrice $B$ che la rappresenta rispetto ad una base ha determinante nullo. Altrimenti, è detta non degenere. La definizione non dipende dalla base scelta per rappresentare la forma come matrice.

I fatti seguenti sono equivalenti:

• La forma bilineare $\phi$ è degenere.
• Esiste un vettore $\mathbf {v}$ non nullo tale che $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0$ per ogni $\mathbf {w}$.
• Esiste un vettore $\mathbf {w}$ non nullo tale che $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0$ per ogni $\mathbf {v}$.

Rango di una forma bilineare

Prese due matrici congruenti $A,B\in M_{n}(K)$, ossia tali che $A=C^{T}BC$, ove $C\in \mathrm {GL} _{n}(K)$, queste hanno il medesimo rango.

Poiché le matrici di Gram associate a una forma bilineare rispetto a una certa base sono tra loro congruenti, ne segue che è possibile definire il rango di una forma bilineare come il rango della matrice di Gram associata alla forma bilineare rispetto una qualsiasi base, ossia $\operatorname {rk} (b)=\operatorname {rk} (M_{\mathcal {B}}(b))$.

Si ha dunque che in uno spazio vettoriale $V$ a dimensione finita, una forma bilineare $b\colon V\times V\to K$ si dice non degenere se $\operatorname {rk} (b)=\dim V$.

Radicale di una forma bilineare

Sia $b$ una forma bilineare, il radicale di tale forma è il sottospazio di $V$ costituito dai vettori che sono $b$-ortogonali a tutti i vettori di $V$.

In simboli, $\operatorname {rad} (b):=\{w\in V\mid b(v,w)=0,\ \forall v\in V\}$.

Proposizione. Siano $V$ uno spazio vettoriale a dimensione finita su un campo $K$, ${\mathcal {B}}$ una base di $V$ e $A$ una matrice simmetrica di Gram associata a una forma bilineare $b$ rispetto alla base ${\mathcal {B}}$. Sotto queste condizioni, il radicale di tale forma in coordinate rispetto alla base scelta è il nucleo dell'applicazione associata alla matrice $A$, ossia $\operatorname {ker} L_{A}=\operatorname {rad} (b)$.

Esempi

• Il prodotto scalare canonico fra vettori del piano o dello spazio euclideo è una forma bilineare simmetrica.
• Sia $C[0,1]$ lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo $[0,1]$, a valori reali. Un esempio di forma bilineare simmetrica definita su $C[0,1]$ è data da:

$\phi (f,g)=\int _{0}^{1}f(x)g(x)dx.$

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

Voci correlate

• Forma quadratica
• Forma sesquilineare
• Prodotto scalare
• Spazio duale
• Trasformazione lineare
• Matrice di Gram

Altri progetti

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• Wikiversità
• Wikimedia Commons

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Bilinear Form, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Forma bilineare, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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