Pi (tal)

For alternative betydninger, se Pi. (Se også artikler, som begynder med Pi)

Forholdet mellem cirklens diameter (her 1), og dens omkreds.

Et lille π

Tallet pi (også kaldet Arkimedes' konstant) er en matematisk konstant, der skrives med det græske bogstav $\pi$. Konstanten optræder mange steder inden for blandt andet matematik og fysik. Den er defineret som forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter. Det vil sige længden af omkredsen divideret med længden af diameteren. Man kan også definere $\pi$ som arealet af en cirkel med radius 1, eller som det mindste positive tal $x$ for hvilket der gælder at sinus til $x$ er lig med 0.

Tallet er irrationalt, det vil sige, at det ikke kan skrives som en brøk. Det er endda et transcendent tal – altså ikke rod i noget polynomium med rationale koefficienter.

Her er tallets første 100 decimaler:

$\pi \approx$ 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679

Der findes brøker, hvis værdi tilnærmer $\pi$. Mest kendt er den værdi, som grækeren Archimedes beregnede, nemlig 22/7. Den kinesiske matematiker (Zu) nåede frem til en langt bedre værdi, 355/113 (der er let at huske: "11 33 55"). Tabellen herunder sammenligner tallene.

$\pi$ og brøker,
som tilnærmer $\pi$

$\pi$		$3.14159265...$
$\textstyle {\frac {22}{7}}$		$3.14{\color {Red}2857...}$
$\textstyle {\frac {355}{113}}$		$3.141592{\color {Red}92...}$

Som et kuriosum kan nævnes, at følgende fjerderod, ${\sqrt[{4}]{9^{2}+\textstyle {\frac {19^{2}}{22}}}}$ først afviger fra $\pi$ på niende decimal.

Der er flere måder, hvorpå man tilnærmet kan beregne $\pi$. Her er to eksempler på rækker der konvergerer imod $\pi$:

$\pi =4\cdot \sum _{n=1}^{\infty }\left(-1\right)^{n+1}\cdot {\frac {1}{2n-1}}=4\cdot \left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}...\right)$

Konvergensen er dog yderst sløv.

$\pi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {180}{n}}\right)\cdot n+\tan \left({\frac {180}{n}}\right)\cdot n}{2}}$.

Huskeregel

De første 13 decimale cifre af $\pi$ kan huskes som længden af ordene i følgende remse: Ser I ikke, I tåber, hvorledes en simpel remse kan klare Cirklens kvadratur?

En lidt mere høflig huskeregel, der også giver præcis de 13 første cifre, men som desværre på nudansk ikke er grammatisk korrekt (lære er navnemåde, ikke nutid; men tidligere var endelsen -e flertalsformen i verber, dog ikke efter 1918), og som den førnævnte indeholder den retskrivningsmæssigt måske problematiske bøjning af ordet cirkel i ejefald, ental, bestemt form - der (alternativt) ikke - fra udgivelsen af Retskrivningsordbogen 2012 - kan være cirkelens, lyder: Her I lære i disse sætninger en nyttig regel som angår cirklens beregning.

Hvis man er til store norske forfattere, kan man, analogt med Ibsen, Ibsen-huskereglen for Eulers tal, anvende "Hej, I Oslo i Norge fordømmer de Hamsun hårdt" til at huske de første 9 cifre. Her får vi også kommaet placeret.

En kortere udgave er den simple: "Hvad er pi? Hvad er pi? Tre komma fjorten femten ni"

$\pi$ bruges i mange hukommelseskonkurrencer. Her er formålet at huske flest decimaler i tallet. Japaneren Hiroyuki Goto kunne i 1995 genkalde de første 42.195 decimaler af $\pi$. Det tog ham ca. 17 timer. I 2006 blev en japansk psykiater den første til at remse $\pi$ op med 100.000 decimaler. Dette tog ham over 16 timer, blev optaget på bånd, og indsendt til Guinness Rekordbog, for at godkende det som en ny rekord. Det er dog aldrig blevet godkendt. Grunden var, at rekordforsøget ikke blev optaget på video, dermed kunne man ikke se, om han snød.

Det er kun officielt lykkedes 20 mennesker i verden at gengive over 10.000 cifre.

Kulturel betydning

En pi-tærte

Konstanten fejres årligt d. 14. marts på pi-dag.

Se også

• Wikimedia Commons har flere filer relateret til Pi (tal)
• Feynman-punktet

Eksterne henvisninger

• En million decimaler af Pi