Kempers wurde 1988 Tennisprofi. Die ersten beiden Jahre spielte er auf der ATP Challenger Tour, zunächst ohne größere Erfolge vorweisen zu können. Im Oktober 1990 erreichte er zusammen mit seinem Landsmann Richard Krajicek das Finale des ATP-Turniers von Athen, welches jedoch verloren ging. 1991 konnte er mit Jacco Eltingh in Palermo seinen ersten Doppeltitel erringen. Insgesamt feierte er im Lauf seiner Karriere vier Doppeltitel auf der ATP World Tour, hinzu kamen sieben weitere Doppeltitel auf der ATP Challenger Tour. Seine höchste Notierung in der Tennis-Weltrangliste erreichte er 1994 mit Position 253 im Einzel sowie 1998 mit Position 42 im Doppel.
Sein bestes Einzelergebnis bei einem Grand-Slam-Turnier war das Erreichen der ersten Runde von Wimbledon 1996. Dort unterlag er Brett Steven glatt in drei Sätzen. Dies war gleichzeitig seine einzige Qualifikation zu einem Grand-Slam-Turnier im Einzel. In der Doppelkonkurrenz erreichte er jeweils das Achtelfinale der Australian Open, der French Open sowie von Wimbledon. Zudem stand er im Mixed zwei Mal im Achtelfinale der US Open.
Niederlande
Palermo (1)
Emilio Sánchez
Jack Waite
Neil Broad
Kopenhagen
Brett Steven
Kitzbühel
Daniel Orsanic
Joshua Eagle
München
Chris Pridham
Rüdiger Haas
Cali
Christer Allgårdh
Maurice Ruah
Sofia
Tamer El Sawy
Gábor Köves
Patrick Mohr
Karim Alami
Charleroi
Lionel Barthez
Aleksandar Kitinov
Stettin
Athen