Infinitesimalzahl

In der Mathematik ist eine Infinitesimalzahl anschaulich eine unendlich kleine Zahl. Das bedeutet, dass sie dem Betrage nach kleiner als jede positive reelle Zahl ist. Unter diese Definition fällt auch die Null, die manchmal als Infinitesimalzahl angesehen wird, gelegentlich aber auch explizit ausgeschlossen ist.

Das Konzept einer unendlich kleinen Zahl oder Größe spielte historisch eine zentrale Rolle in der Differentialrechnung, insbesondere bei der Definition des Differentials $\mathrm {d} x$, das als eine infinitesimal kleine Änderung der Variablen $x$ betrachtet werden kann. Im Zuge der strengen Formulierung der Analysis im 19. Jahrhundert wurden unendlich kleine Größen aus der Analysis verbannt und durch Grenzwertprozesse ersetzt. Im 20. Jahrhundert hielten sie im Rahmen der Nichtstandardanalysis wieder Einzug in die Mathematik; dort werden Infinitesimalzahlen formal als hyperreelle Zahlen eingeführt.

Eigenschaften

Offensichtlich gibt es unter den reellen Zahlen außer der Null keine Infinitesimale, die dieser Forderung genügen, denn ein solches reelles $x\neq 0$ müsste die Bedingung $0<x<{\tfrac {x}{2}}$ erfüllen, da auch ${\tfrac {x}{2}}$ eine positive reelle Zahl ist. Um trotzdem Infinitesimale definieren zu können, muss entweder die obige Forderung abgeschwächt werden, oder die reellen Zahlen müssen in einen größeren geordneten Körper eingebettet werden, in welchem dann Platz für solche zusätzlichen Elemente ist. Letzteres ist der Weg, auf welchem algebraische Infinitesimale definiert werden (Coste, Roy, Pollack), und auch der Weg der Nichtstandard-Analysis (Robinson, Nelson).

Ein Infinitesimal $x\neq 0$ hat die Eigenschaft, dass jede beliebige Summe von endlich vielen (in der Nichtstandard-Analysis: standard-endlich vielen) Gliedern des Betrages dieser Zahl kleiner als 1 ist:

$|x|+\dotsb +|x|<1$ für jede endliche Anzahl von Summanden.

In diesem Fall ist $|1/x|$ größer als jede beliebige positive reelle (in der Nichtstandardanalysis: standard-reelle) Zahl. Dies heißt für die algebraischen Infinitesimale, dass die zugehörige Körpererweiterung nicht-archimedisch ist.

Infinitesimalrechnung

→ Hauptartikel: Infinitesimalrechnung

Der erste Mathematiker, der solche Zahlen nutzte, war wohl Archimedes, obwohl er nicht an ihre Existenz glaubte. Newton und Leibniz nutzen die Infinitesimalzahlen, um ihr Kalkül der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) zu entwickeln. Ein in der Literatur häufig genanntes Beispiel für den unbedarften Umgang mit Infinitesimalzahlen ist die Bestimmung der Ableitung der Quadratfunktion $f(x)=x^{2}$. Dazu wird angenommen, $\mathrm {d} x$ sei infinitesimal. Dann ist

$f'(x)={\frac {f(x+\mathrm {d} x)-f(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {x^{2}+2x\cdot \mathrm {d} x+\left(\mathrm {d} x\right)^{2}-x^{2}}{\mathrm {d} x}}=2x+\mathrm {d} x=2x.$

Im letzten Schritt wurde $\mathrm {d} x$ vernachlässigt, weil es infinitesimal klein ist.

Obwohl dieses Argument intuitiv einleuchtet und richtige Ergebnisse liefert, ist es in sich widersprüchlich: Das grundlegende Problem besteht darin, dass $\mathrm {d} x$ zunächst als ungleich null betrachtet wird (man teilt durch $\mathrm {d} x$), im letzten Schritt hingegen als gleich null. Die Nutzung von Infinitesimalzahlen wurde von George Berkeley in seinem Werk The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician (1734) kritisiert.

Historische Weiterentwicklung

Die Frage nach den Infinitesimalen war seitdem eng verknüpft mit der Frage nach der Natur der reellen Zahlen. Erst im 19. Jahrhundert verliehen Augustin Louis Cauchy, Karl Weierstraß, Richard Dedekind und andere der reellen Analysis eine mathematisch strenge formale Form. Sie führten Grenzwertbetrachtungen ein, die die Nutzung infinitesimaler Größen überflüssig machten.

Trotzdem wurde die Nutzung der Infinitesimalzahlen weiterhin als nützlich für die Vereinfachung von Darstellungen und Berechnungen betrachtet. So kann, wenn $x\approx 0$ die Eigenschaft bezeichnet, infinitesimal zu sein, und entsprechend $N\approx \infty$ die Eigenschaft, infinit zu sein, definiert werden:

• Eine (Standard-)Folge $(a_{n})$ ist eine Nullfolge, wenn für alle $N\approx \infty$ gilt: $a_{N}\approx 0$.
• Eine (Standard-)Funktion $f$ auf einem beschränkten Intervall $I$ ist gleichmäßig stetig genau dann, wenn für alle $x,y\in I$ gilt, dass aus $x-y\approx 0$ folgt: $f(x)-f(y)\approx 0$.

Im 20. Jh. wurden Zahlbereichserweiterungen der reellen Zahlen gefunden, die infinitesimale Zahlen in formal korrekter Form enthalten. Die bekanntesten sind die hyperreellen Zahlen und die surrealen Zahlen.

In der Nichtstandardanalysis von Abraham Robinson (1961), welche die hyperreellen Zahlen als Spezialfall enthält, sind Infinitesimalzahlen legitime Größen. In dieser Analysis kann die oben erwähnte Ableitung von $f\colon \mathbb {R} \ni x\mapsto x^{2}\in \mathbb {R}$ durch eine geringfügige Modifikation gerechtfertigt werden: Wir sprechen über den Standardteil des Differentialquotienten und der Standardteil von $2x+\mathrm {d} x$ ist $2x$ sofern $x$ eine Standardzahl ist.

Weblinks

• Peter Baumann, Thomas Bedürftig, Volkhardt Fuhrmann: dx, dy – Einstieg in die Analysis mit infinitesimalen Zahlen.