Sapsford begann im Alter von zehn Jahren mit dem Tennisspiel. Er besuchte die Tennisschule der Lawn Tennis Association und gewann als Heranwachsender die nationalen britischen U12- und U18-Titel. Auf der ITF Junior Tour erreichte auf der Grand-Slam-Ebene mit dem Achtelfinale bei den US Open sein bestes Ergebnis.
Bei den Profis war er auf der ATP Challenger Tour am erfolgreichsten, wo er zwischen 1994 und 1997 acht Doppeltitel gewann. Hiervon jeweils drei an der Seite von Chris Wilkinson und Andrew Foster sowie zwei zusammen mit Mark Petchey. Mit letzterem gelang ihm auch sein größter Erfolg, der Gewinn des Doppeltitels beim ATP Turnier von Nottingham 1996. Seine höchste Notierung in der Tennisweltrangliste erreichte er 1996 mit Position 170 im Einzel sowie 1998 mit Position 83 im Doppel.
Sein bestes Einzelergebnis bei einem Grand-Slam-Turnier war das Erreichen der dritten Runde in Wimbledon 1999. Als Qualifikant mit Weltranglistenposition 595 siegte er gegen Julián Alonso und Galo Blanco, bevor er glatt in drei Sätzen gegen Pete Sampras ausschied. Im Anschluss an dieses Spiel gab Sapsford seinen Rücktritt vom Profisport bekannt. In der Doppelkonkurrenz erreichte er 1998 das Achtelfinale bei den US Open. Im Mixed stand er zwei Mal im Achtelfinale von Wimbledon.
Sapsford spielte zwischen 1990 und 1991 drei Einzelpartien für die britische Davis-Cup-Mannschaft, von denen er zwei gewinnen konnte.
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