Comincia a frequentare il circuito ITF juniores nel marzo 2011 a soli tredici anni e, al secondo torneo giocato, raggiunge la prima finale in un G4 a Plantation, in Florida. Entro fine stagione si qualifica per la finale anche a Filadelfia e si aggiudica il G5 di Waco, Texas, sia in singolare che in doppio. Il primo risultato di rilievo in singolare arriva nell'aprile 2012 con la finale al G1 di Carson, California. Nel marzo 2013 viene sconfitto da Gianluigi Quinzi nella finale della Copa Gerdau, la prima nella categoria GA, raggiunge poi per il secondo anno consecutivo la finale a Carson dove batte Wiersholm in due set, nella stessa stagione esce sconfitto anche dalle finali del G1 di College Park e del prestigioso Orange Bowl. Nel 2014 vince tre soli game nella finale degli Australian Open contro Alexander Zverev, risultato grazie al quale raggiunge la seconda posizione del ranking combinato. Quell'anno perde anche l'atto conclusivo a Wimbledon contro Noah Rubin e chiude la carriera juniores aggiudicandosi l'Orange Bowl sia in singolare, battendo in finale Stefanos Tsitsipas per 2-6, 6-3, 6-2, sia in doppio assieme a Michael Mmoh.[1]
Kozlov disputa il primo torneo di categoria Futures nel luglio 2012 e fa il suo esordio con una sconfitta nel circuito maggiore nell'estate 2013. A novembre alza il primo trofeo da professionista vincendo un torneo ITF di doppio statunitense. Comincia a partecipare assiduamente a tornei professionistici nei primi mesi del 2014. Dopo una semifinale e un quarto di finale, il 5 ottobre di quell'anno raggiunge la sua prima finale in un torneo Challenger a Sacramento sconfiggendo in successione Ryan Harrison, John-Patrick Smith, Rhyne Williams e Tim Smyczek, uscendo sconfitto solo nel confronto con il numero 47 ed ex 17º delle classifiche mondiali Sam Querrey, scala così 320 posizioni del ranking e si porta alla 441ª.
Nel 2015 vince il primo titolo Challenger in doppio in un torneo hawaiiano in coppia con Jared Donaldson, mentre in singolare disputa solo alcune finali ITF. Nell'estate del 2016 vince il primo incontro in un torneo ATP sconfiggendo Yoshihito Nishioka sull'erba del Rosmalen Open, dove raggiunge i quarti battendo anche il nº 39 del ranking Steve Johnson e viene sconfitto di nuovo da Querrey. Nell'arco della stagione risale la classifica anche grazie a buoni risultati nei Challenger, e dopo aver perso le finali di singolare all'Open Guadeloupe e al China International Suzhou, a novembre vince il primo titolo di categoria in singolare battendo in tre set Tennys Sandgren in finale al Columbus Challenger, risultato con cui porta il miglior ranking al 116º posto mondiale. Anche in doppio disputa nel 2016 tre finali Challenger e vince in coppia con John-Patrick Smith quella del Winnetka USTA Pro Tennis Championship.
Nel 2017 vince in singolare un solo Challenger al Las Vegas Tennis Open ma non compie sostanziali progressi nel ranking e chiude la stagione alla 167ª posizione, mentre il Challenger vinto in doppio al Sarasota Open lo porta al 180º posto, per chiudere poi l'anno oltre il 400º. Le tre stagioni successive lo vedono scendere ulteriormente in entrambi i ranking, l'unico titolo arriva nel 2019 in singolare in un torneo ITF e quello stesso anno scende oltre il 550º posto nel ranking di singolare.
Torna al successo nei Challenger nella seconda parte del 2021, vincendone tre in singolare e due in doppio, e rientra nella top 200 in singolare e ai piedi della top 300 in doppio. Continua a risalire in singolare nel 2022, vince il suo primo match in uno Slam agli Australian Open, raggiunge i quarti di finale al torneo ATP di Delray Beach, supera le qualificazioni all'Abierto Mexicano de Tenis e al primo turno batte in tre set il nº 33 ATP Grigor Dimitrov, nella sua più importante vittoria in carriera. A luglio porta il miglior ranking di singolare alla 103ª posizione. Nella parte finale dell'annata ha un calo di rendimento e chiude il 2022 al 199º posto.
La crisi di risultati continua nei due anni successivi e nel febbraio 2024 scende all'816ª posizione mondiale. Continua comunque a giocare nei tornei Challenger e lentamente risale la classifica. Nel maggio 2025 vince l'unico torneo ITF disputato in stagione. A novembre torna a vincere un Challenger allo Champaign-Urbana, quattro anni dopo l'ultimo titolo conquistato in questa categoria, che aveva vinto nello stesso torneo. Con questo successo rientra nella top 300 da cui era uscito nel febbraio 2023. Nei primi mesi del 2026 disputa per tre volte i quarti di finale in tornei Challenger e nei mesi successivi vince qualche match nei tabelloni principali, risultati che lo mantengono nelle posizioni a cavallo della 300ª.